Microsoft Word 2003

Bab 1

1.1 Pengantar logika dan himpunan

M

atematika mempunyai bahasa dan aturan yang terdefenisi dengan baik, penalaran yang jelas dan sistematik, dan struktur yang sangat kuat. Dengan berbagai keunggulan ini matematika digunakan sebagai suatu cara pendekatan dalam mempelajari ilmu pengetahuan dan teknologi dan dalam menyelesaikan masalah yang rumit . matematika juga merupakan alat bantu dalam menyelesaikan masalah dalam berbagai disiplin ilmu. Dengan matematika, suatu masalah nyata dapat dilihat dalam suatu model yang strukturnya jelas, tepat dan bentuknya kompak (singkat dan padat).

Unsure utama dalam pekerjaan metematika adalah penalaran deduktif dan induktif. Penalaran deduktif bekerja dengan berbagai asumsi, tidak dengan pengamatan. Sedangkan penalaran induktif bekerja berdasarkan fakta dan fenomena yang muncul untuk sampai kepada suatu perkiraan tertentu. Tetapi perkiraan yang diperoleh tidak dapat diterima begitu saja, harus diyakinkan kebenarannya atau dibuktikan secara deduktif.

Proses induktif – deduktif dapat digunakan sebagai salah satu cara dalam mempelejari suatu konsep matematika.

1.1.1        Sistem Aksioma

Matematika dibangun berdasarkan suatu system yang memuat beberapa istilah dasar dan sifat yang kebenarannya diterima tanpa pembuktian. Suatu system matematika merupakan penerapan berbagai metode secara aksiomatik dari logika atas sekelompok unsure, relasi dan operasi. Pemilihan beberapa sifat dasar yang dibuat konsisten akan menentukan suatu system secara utuh. Dalam proses penalaran matematika, suatu rumus (teorema) matematika terdiri dari beberapa hipotesis dan kesimpulan. Penalaran dibalik system logika dapat dipahami berdasarkan sifat system dan operasi yang dirancang didalamnya.

System aksioma terdiri dari empat bagian penting yaitu istilah tak terdefenisi, terdefenisi, aksioma, dan teorema.

v     Istilah tak terdefenisi, istilah dasar (primitive) yang digunakan untuk membangun istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefenisikan, tetapi deskripsinya ada. Pada suatu system matematika tertentu, kita mengenal istilah tak terdefenisi, seperti titik, garis, bidang, himpunan dan sebagainya.

v     Istilah terdefenisi istilah yang digunakan dalam system, bukan istilah dasar, dan dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar. Dalam suatu defenisi, istilah jika berarti jika dan hanya jika.

Suatu defenisi yang baik mempunyai ciri berikut :

·        Jelas, tepat dan mempunyai suatu makna;

·        Hanya menggunakan istilah dasar  atau yang telah ada sebelumnya

·        Konsisten,dalam setiap kasus mempunyai arti yang sama

·        Jangkauannya cukup luas untuk dapat memuat sebanyak mungkin objek dari system.

v     Aksioma atau Postulat. Aksioma adalah suatu pernyataan yang diandaikan benar pada suatu system dan diterima tanpa pembuktian. Aksioma hanya memuat istilah dasar dan istilah terdefenisi, tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya. Sekelompok aksioma dalam suatu system harus konsisten, dapat membangun system tersebut dan tidak saling bertentangan.

v     Teorema. Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara logika dan dibuktikan dengan memanfaatkan istilah dasar, istilah terdefenisi, aksioma dan pernyataan benar lainnya.

Pernyataan

      Suatu pernyataan matematika (disingkat  adalah rangkaian kata yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu atau . Diantara benar atau salah  hanya berlaku salah satu : benar saja atau salah saja dan tidak mungkin keduanya sekaligus. Ukuran benar atau salahnya suatu pernyataan tidak didasarkan atas opini atau pendapat.

Contoh 1.1 :

(a)    Setiap segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki (B)

(b)   Setiap persegi panjang adalah jajaran genjang (B)

(c)    Jika =9, maka  (S)

(d)   Pada system bilangan riil, persamaan  tidak mempunyai jawab (B)

(e)    Mereka mahasiswa Unhas (kalimat terbuka, bukan pernyataan)

Kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut  (kalimat nondeklaratif). Misalnya kalimat Tanya, kalimat perintah, kalimat harapan, kalimat terbuka (kalimat yang mempunyai besaran yang tidak diketahui) semuanya bukan pernyataan karena tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

            Hasil penting dalam matematika disebut , dan kita akan menemukan banyak teorema dalam buku ini. Teorema dapat dinyatakan dalam bentuk “jika  maka ”. Seringkali disingkat  . Kita namakan  sebagai hipotesis dan Q sebagai kesimpulan teorema tersebut. Perhatikan kedua pernyataan  dan , kedua pernyataan tersebut tidak setara . sebagai contoh : jika Wahyu adalah orang pinrang, maka ia adalah orang Indonesia”jika Wahyu adalah orang Indonesia, maka ia adalah orang pinrang” merupakan pernyataan yang salah.

1.1.2        Himpunan

Kemudian salah satu dasar dalam matematika yang harus dipahami adalah konsep sebuah himpunan. Himpunan didefenisikan sebagai kumpulan objek – objek yang berbeda. Mahasiswa – mahasiswa yang mengambil matakuliah matematika dasar, buku – buku yang dijual dalam suatu took, hewan – hewan yang ada di kebun binatang, dan lain – lain adalah contoh suatu himpunan.

Biasanya himpunan dinotasikan dengan huruf besar seperti A,B,C,…..  objek dalam himpunan disebut elemen/anggota himpunan, yang disimbolkan dengan huruf kecil.

1.2  Sistem Bilangan Real

Kita sudah cukup mengenal jenis – jenis bilangan berikut :

1.            Bilangan asli, yakni 1,2,3,4,5… dengan bilangan ini kita dapat menghitung buku – buku kita, uang kita. Himpunan bilangan asli dinyatakan dengan notasi baku yakni N = {1,2,3,…}. Penjumlahan dua buah bilangan asli dan perkalian dua buah bilangan asli sembarang juga sebuah bilangan asli. Hal ini seringkali dinyatakan dengan mengatakan bahwa himpunan bilangan asli tertutup di bawah operasi penjumlahan dan operasi perkalian.

2.            Bilangan nol dan negative, yakni 0 dan -1,-2,-3,…, bilangan ini muncul untuk mencari penyelesaian persamaan seperti  dimana  sembarang bilangan asli. Dengan persamaan ini dimungkinkan adanya operasi pengurangan yang merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan, dimana kita dapat menuliskan  

Himpunan bilangan asli, bilangan negative dan nol dinamakan himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dinyatakan dengan notasi baku yakni Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.

3.             Bilangan rasional yakni hasil bagi (rasio) dari bilangan – bilangan bulat yaitu bilangan – bilangan seperti

4.             ,,,

5.Bilangan ini muncul untuk memecahkan persamaan seperti  dimana a, b sembarang bilangan bulat dengan  dengan persamaan ini dimungkinkan adanya operasi pembagian yang merupakan kebalikan dari operasi perkalian, dimana kita dapat menuliskan x=a/b=a1/b. A disebut pembilang, sedangkan  disebut penyebut.

Himpunan bilangan rasional dinyatakan dengan notasi baku yakni

,

6.            Apakah bilangan – bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Tidak. Fakta yang mengejutkan ini ditemukan oleh orang yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun   merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku – siku dengan sisi – sisi 1, bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat. Jadi   adalah suatu bilangan tak rasional. Demikian juga , dan sekelompok bilangan lain.

Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan tak rasional disebut bilangan real.

Himpunan bilangan real dinyatakan dengan notasi baku yakni

Bilangan – bilangan ini dapat dipandang sebagai label untuk titik – titik sepanjang sebuah garis mendatar ( garis real).

Dari pengenalan beberapa bilangan, maka

NZQ,

Disini  adalah lambang himpunan bagian; dibaca “adalah himpunan bagian dari”.

Operasi  Aritmatika

Diberikan dua bilangan real  dan , kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya untuk memperoleh dua bilangan real baru, yakni  dan . Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat berikut, yang kita kenal dengan sifat-sifat medan.

Sifat-sifat Medan

1.      Sifat komutatif.  dan .

2.      Sifat asosiatif.  dan .

3.      Sifat distributive.

4.      Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan real yakni 0 dan 1 yang  memenuhi +0= dan

5.      Balikan (invers). Setiap bilangan  mempunyai balikan penambahan, yakni , yang memenuhi  juga, setiap bilangan kecuali 0 mempunyai balikan perkalian, yakni , yang memenuhi =1

Pengurangan dan pembagian didefenisikan dengan

dan

  =

Urutan

Bilangan-bilangan real tak nol dapat dipisah menjadi dua himpunan terpisah, yakni bilangan real positif dan bilangan real negative. Fakta ini memungkinkan kita memperkenalkan relasi urutan < (dibaca”kurang dari”)

Yaitu

jika dan hanya jika  adalah positif.

Tafsiran geometri bahwa  berarti bahwa  berada di sebelah kiri y pada garis real.

I. PENDAHULUAN

Kepemimpinan merupakan suatu kiat atau kewibawaan yang mampu menggerakan orang lain, baik secara perseorangan maupun kelompok didalam suatu organisasi sehingga menimbulkan kemauan dan kemampuan untuk melakukan sesuatu dalam mencapai tujuan organisasi. Kepemimpinan meliputi berbagai dimensi, dan berfungsi sebagai salah satu piranti penggerak, motor atau motivator sumber daya yang ada dalam organisasi, sehingga peran kepemimpinan diharapkan mampu mendinamisasikan organisasi dalam mencapai tujuan.

Demikian pula halnya dengan kepengurusan BEM, BLM, HMJ yang berperan sebagai salah satu jalur pembinaan kemahasiswaan harus mampu mewujudkan tugas pokok dan fungsinya, kemauan dan kemampuan para pelaku kepemimpinan BEM, BLM, HMJ hanya dapat berperan dengan sebaik – baiknya apabila secara teratur, terencana dan berkesinambungan dilaksanakan pembinaan dan pengembangan bagi para pelaku kepemimpinan tersebut. “Latihan Dasar Kepemimpinan” bagi mahasiswa pengurus BEM, BLM, HMJ Fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, merupakan salah satu jalur pembinaan generasi muda yang difokuskan pada kompetensi individu dimana kader – kader penerus perjuangan bangsa bukan hanya slogan “Pemuda Harapan Bangsa”.

Tetapi dapat dipertanggungjawabkan dan diaplikasikan dikehidupan berbangsa dan bertanah air.  Dengan demikian akan muncul pemimpin – pemimpin yang dapat mengemban amanah sebaik mungkin dan mengayomi setiap generasi muda berikutnya agar tercipta suatu regenerasi, yang mendukung setiap langkah  untuk mencapai impian dan cita – cita bangsa

Disamping itu kegiatan ini juga sebagai tali yang mempererat hubungan persaudaraan antara generasi terdahulu dan generasi sekarang dan juga sebagai perkenalan organisasi fakultas tahap awal kepada mahasiswa baru 2009. dengan pelatihan ini diharapkan akan menjadi batu loncatan menuju kehidupan yang lebih kompleks kedepannya.

II. DASAR PENYELENGGARAAN

1. UU No 22 tahun 1999

2. UU No 2 tahun 1989

3. Program kerja BEM, BLM, HMJ

III. MAKSUD DAN TUJUAN

Hasil yang ingin dicapai dalam penyelenggaraan pelatihan dasar kepemimpinan bagi mahasiswa/i baru Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam adalah :

1. Meningkatkan dan memantapkan mutu kepemimpinan.

2. Meningkatkan kemampuan berorganisasi dan kesadaran politik sebagai

    warga Negara yang baik dan bertanggungjawab      .

3. Meningkatkan dan mengembangkan serta memperluas wawasan dalam

    Melaksanakan tugas-tugas kepemimpinan.

4. Memberikan kesempatan belajar bagi peserta didik.

5. Mendorong, membimbing serta mengarahkan potensi kepemimpinan.

6. Menumbuhkan, meningkatkan dan memantapkan kesadaran dan

    tanggung jawab sebagai warga negara khususnya generasi muda penerus  

    perjuangan bangsa.

7. Memberikan tuntunan dan meningkatkan pola pikir, sikap dan perilaku,

    kepribadian,budi pekerti, sopan santun dan disiplin.

IV. PENYELENGGARAAN

Penyelenggaraan latihan Dasar Kepemimpinan bagi mahasiswa/i baru

merupakan salah satu program Kerja BEM Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang dilaksanakan setiap tahun.

V. PESERTA

Peserta Pelatihan Dasar Kepemimpinan adalah mahasiswa/i baru Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan persyaratan sebagai berikut :

1. Mahasiswa baru Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam tahun

    2009

2. Menyerahkan biodata peserta

3. Menyerahkan pas photo ukuran 3 x 4 = 2 (dua) lembar.

VI. NAMA KEGIATAN

Latihan Dasar Kepemimpinan (LDK) mahasiswa baru tahun 2009 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

VII. BENTUK KEGIATAN

Latihan Dasar Kepemimpinan (LDK) mahasiswa/i baru tahun 2009 merupakan teori dan praktek yang dilaksanakan dalam bentuk kegiatan diruangan maupun dilapangan.

VIII. TEMA KEGIATAN

“Membentuk Kader-Kader Pemimpin Bangsa Yang Berkualitas,

  Berkompeten, Bertanggung Jawab dan Penuh Dedikasi”

IX. MATERI KEGIATAN

1. Program Umum

Merupakan latihan wajib yang harus diikuti oleh seluruh peserta Pelatihan yang menyangkut bahan-bahan/materi yang menunjang usaha penanaman kesadaran berbangsa dan bernegara.

2. Program Pokok

Materi ini merupakan kegiatan yang langsung diperlukan dalam usaha meningkatkan kemampuan dibidang Kepemimpinan.

3. Program Penunjang

Program ini merupakan pengetahuan yang menunjang program pokok yamg

diharapkan lebih membuka cakrawala pandangan para peserta pelatihan dalam usaha meningkatkan kemampuan dibidang Kepemimpinan.

X. WAKTU PENYELENGGARAAN

Waktu kegiatan dilaksanakan pada tanggal 15 oktober 2009

XI. TEMPAT PENYELENGGARAAN

Tempat penyelenggaraan dilaksanakan di kampus  Universitas Hasanuddin

XII. ANGGARAN

Alokasi biaya Pelatihan Dasar Kepemimpinan (LDK) pengurus BEM, BLM, HMJ dari dana kemahasiswaan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.